Matemáticas Detrás de Escena — Capítulo 1. Criptografía Espacial

Un juego habitual que varios niños han experimentado es el de idear un alfabeto especial para mandar algún mensaje secreto. Seguramente el interés y esfuerzo usado en este caso era más el hacer un mensaje diferente que el que algún fisgón supiera su contenido. En el día a día, sin embargo, este interés existe, y la confidencialidad de las comunicaciones representa un tema de suma importancia para objetivos que son más cotidianos de lo que se esperaría.

Pero, antes que nada, ¿Qué quiere decir que un mensaje esté cifrado, y cómo esto se relaciona con las matemáticas, la vida cotidiana e incluso con una misión espacial?

En esencia, la codificación consta de sustituir una palabra por otra; un ejemplo claro de esto es traducir una palabra de un idioma a otro. Por otro lado, cifrar un texto implica alterar o sustituir las letras que componen una palabra mediante un procedimiento matemático o lógico, como lo puede ser el cambiar cada letra por una situada más adelante en el alfabeto. Para poder leer el mensaje, es necesario que el destinatario conozca dos componentes esenciales: el Algoritmo de cifrado, que es la regla o procedimiento general que se usa para transformar el texto, y la Clave, que es el dato específico o "contraseña" necesario para aplicar ese algoritmo y revelar el mensaje original.

Con base en esto, se podría plantear que una forma de ocultar un mensaje adecuadamente puede ser simplemente cambiar las letras por un número o un símbolo que solo conozcan el emisor y el receptor, ¿verdad? Pues, aunque podría servir en un juego entre niños, cuando lo queremos emplear en temas más importantes, este método es completamente vulnerable a lo que se conoce como Análisis de frecuencias.

El análisis de frecuencias se basa en un principio estadístico: en cualquier idioma, ciertas letras (como la "E" o la "A" en español) aparecen mucho más a menudo que otras. Haciendo uso de esto, un criptoanalista puede ordenar los símbolos de un mensaje interceptado de mayor a menor frecuencia. Al comparar estos porcentajes con la estadística natural del idioma, se puede deducir que el símbolo que más se repite representa la letra más común, decodificando de forma matemática el texto hasta revelar el secreto.

Debido a esta vulnerabilidad, desde los grandes imperios, hasta el Banco en donde cobras tu quincena, tuvieron que buscar métodos matemáticos mas sofisticados para guardar correctamente, por ejemplo, ¡La contraseña de tu cuenta Bancaria!

Hoy en día, cuando usas una tarjeta de crédito, los bancos no intentan ocultar tus datos moviendo letras de lugar; en su lugar, utilizan Funciones Hash y Tokenización. Las primeras transforman tu NIP en un código matemático imposible de revertir, mientras que la tokenización sustituye los números de tu tarjeta por identidades falsas protegidas por matrices de álgebra lineal. Gracias a esto, aunque un hacker intercepte la señal de un cajero automático, solo verá ecuaciones y códigos sin sentido.

Pero las matemáticas en el plástico no se limitan a la seguridad invisible; los mismos 16 dígitos de la tarjeta tienen una estricta lógica matemática detrás. El primer dígito indica la red global (por ejemplo, todas las tarjetas Visa empiezan obligatoriamente con el número 4). Los siguientes dígitos conforman el identificador del banco emisor; en el caso de Banco Azteca, suele iniciar con la serie 4027. Los números centrales identifican de forma única la cuenta del usuario y el nivel de su tarjeta (clásica, oro o platino). Finalmente, el último número es el Dígito de Control, el cual se calcula mediante una operación aritmética aplicada a los 15 dígitos anteriores a través del "Algoritmo de Luhn" (Para quien que se quedó curioso, puede consultar la biografía adjunta para conocer más este algoritmo). Este algoritmo sirve para verificar instantáneamente si la estructura de la tarjeta es matemáticamente válida y no un error o un fraude. Como ves, algo tan cotidiano como pagar el supermercado sigue patrones numéricos sumamente estrictos.

Pero estos patrones y métodos matemáticos no se limitan solo a lo cotidiano, sino que pueden escalar a algo tan impresionante y complejo como la seguridad en un satélite. En la ingeniería aeroespacial, la criptografía es, literalmente, la diferencia entre el éxito de una misión y un desastre de millones de dólares.

Imagina un satélite meteorológico o de telecomunicaciones orbitando a miles de kilómetros sobre nuestras cabezas. Estos aparatos dependen enteramente de los comandos de radio que los ingenieros les envían desde las estaciones en la Tierra para corregir su órbita o encender sus sistemas. Si un actor malicioso interceptara esa señal y enviara una orden falsa, podría apagar el satélite o incluso hacerlo chocar; un peligro real conocido en la industria como spacejacking (secuestro espacial).

Para evitarlo, los satélites utilizan algoritmos de criptografía asimétrica (como el famoso algoritmo RSA) y funciones hash avanzadas para la autenticación. El método RSA se basa en la pureza de la teoría de números: la dificultad matemática de factorizar el producto de dos números primos gigantescos! (algo que, para quien se lo pregunta, es sumamente complejo). Gracias a esto, cada comando enviado desde la Tierra lleva una firma digital única e infalsificable. Al recibirla, el satélite calcula la ecuación y, si el resultado no coincide de forma exacta con la clave que lleva en su computadora de a bordo, ignora la orden por completo. Así, las matemáticas no solo protegen la seguridad del satélite, sino también los invaluables datos científicos que recopila del universo.

Y para quien se quedó ansioso, se adjunta un Algoritmo de Cifrado muy intuitivo, fácil de emplear, ¡y que encima es resistente contra el análisis de frecuencias!: El Cuadrado de Vigenère.

Este algoritmo consta de hacer una matriz cuadrada fija de 26 filas por 26 columnas (representando las letras del alfabeto), donde cada fila se desplaza una posición respecto a la anterior. Para hacerlo más visual, podemos construir un "recorte" de esta gran matriz usando únicamente las letras de la clave que vayamos a emplear, resultando de la siguiente manera:

Nótese que las filas de este recorte se forman a partir de las letras que componen nuestra palabra clave; si la palabra escogida empieza con la letra O, la fila correspondiente es el alfabeto empezando desde la letra O. Ahora, si la palabra que se quiere encriptar es "Revista" y la clave es "Orbita", se acomodaría de la siguiente manera:

(Nótese que la clave se repite hasta completar la cantidad de caracteres del mensaje).

Ahora, para cifrar el mensaje, se hace una tabla como la que sigue:

Y lo que se hace a continuación es sustituir cada letra del mensaje original por la letra de la clave que le corresponde y su equivalencia en la tabla. Por ejemplo, la primera letra de nuestro mensaje es la R y la letra que le corresponde de la Clave es la O, por lo que tomamos la letra que esté en la posición (O, R), que en este caso es la F. La segunda letra de nuestro mensaje es la E, y su letra Clave es la R, por lo que buscamos la letra en la posición (R, E), la cual es la V, y se siguen los mismos pasos hasta completar cada palabra, resultando en nuestro mensaje cifrado: "FVWQMTO".

Y para descifrarlo, si se tiene por ejemplo el mensaje "GATNEQO" y se sabe que la Clave es "CIENCIA", se hace una tabla como sigue:

Y también se hace el cuadrado de Vigenère como sigue:

Y esta vez se busca un par de letras que, por ejemplo, para la primera letra, cumpla que: (C, ?) = G, siendo en este caso la letra E, para la segunda letra buscamos (I, ?) = A, correspondiendo a la letra S. Siguiendo el mismo orden para cada letra tenemos el mensaje ESPACIO.

¡Y listo!, con esto ya tienes un método eficaz para mandar mensajes secretos. Puede usarse para alguna carta, un secreto, un párrafo usado en un relato de ciencia ficción de terror encontrado en esta misma revista, o simple diversión; el límite lo das tú. A fin de cuentas, ya sea con un lápiz y papel usando el Cuadrado de Vigenère, o con supercomputadoras protegiendo satélites en el espacio profundo, la criptografía nos demuestra que las matemáticas no son solo números en un pizarrón: son la llave para proteger los secretos de nuestro mundo... y del universo.

Referencias Bibliográficas

Urgelles J. G. (2010). Matemáticos, espías y piratas informáticos. codificación y criptografía. RBA.

Consultative Committee for Space Data Systems (CCSDS). (2019). Cryptographic Military and Civil Standards for Space Data Systems (CCSDS 350.0-G-3). Green Book. CCSDS.